Fibonacci

Este desenho representa um dos estudos mais interessantes da matemática e da arte, e que começou eventualmente com Euclides e as suas aproximações ao desenho de espirais por justaposição de quartos de círculo.

Começando com um quadrado de lado 1, ele acrescentava um segundo quadrado também de lado 1, depois um de lado 2 (1 + 1), um de lado 3 (2 + 1), um de lado 5 (3 + 2), um de lado 8 (5 + 3). um de lado 13 (8 + 5), e assim sucessivamente.
Esta sequência de lados dos quadrados - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... - é a sequência de Fibonacci, que tantas vezes nos surpreende. Define-se recursivamente:

F(n) = F(n -1) + F(n - 2)
F(1) = 1
F(0) = 1

A figura anterior é um rectângulo, e a relação entre a sua largura e a sua altura é considerada artisticamente proporcionada, sendo conhecido pelo rectângulo dourado. À medida que novos quadrados são acrescentados, a proporção converge para um valor determinado:

Um dos problemas destas sucessões definidas recursivamente é a dificuldade em obter um termo geral, que permita calcular qualquer dos seus termos sem ser necessário retroceder até F(0).
Pode-se?
Os mais familiarizados com a transformada Z reconhecem imediatamente aqui uma aplicação, e com alguns cálculos simples até chegam ao valor exacto de F(n)/F(n - 1) quando n tende para infinito: (1 + Ö5)/2 = 1.6180339887... Número mágico, presente na pintura, na arquitectura, na música, na economia, e em muitos outros domínios.