Um problema com um dado

Queremos saber quantas vezes temos, em média, de lançar um dado até obter as seis faces diferentes, por uma ordem qualquer?
Aqui está um problema interessante, que obriga a pensar.
O número mínimo de lançamentos é obviamente 6

mas pode haver repetições até sair a sexta face.
O primeiro lançamento dá-nos obrigatoriamente a primeira face!
E a partir daqui quantos lançamentos serão necessários, em média, para obter uma segunda face diferente desta? São 5 faces favoráveis sobre seis possíveis, o que quer dizer que a probabilidade de sair uma das faces que nos interesse é de 5/6 e o número médio de lançamentos que é necessário realizar para nos sair essa face é de 6/5.
Para obtermos uma terceira face, em que há quatro faces favoráveis sobre seis possíveis, a probabilidade de sair uma face que nos interesse é de 4/6 e o número médio de lançamentos que é necessário realizar para nos sair essa face é de 6/4. Etc.
No total, para obtermos as seis faces diferentes, necessitamos em média de 1+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1=14.7 lançamentos!
Fácil! Verdade? Como verificar?